$r$-重误差函数与高深度不定 Theta 级数

定符号格的 theta 函数构成了模形式的丰富来源。一个自然的问题便是将它们推广到不定符号格。在保持定符号 theta 函数的全纯性质的同时确保 theta 级数收敛的一种方法是，将对格点的求和限制在一个适当的子集上。尽管这样的级数不具备定符号 theta 函数所具有的模性质，但正如 Zwegers 针对符号 $(1,n-1)$ 格所示，通过在某种程度上对全纯性质作出妥协，它们可以被完备化为一个具有这些模性质的函数。此构造最近由 Alexandrov、Banerjee、Manschot 和 Pioline 推广至符号 $(2,n-2)$ 格。该工作的一个关键要素是双重误差函数的概念，它自然地适用于向更高维度的推广。在本工作中，我们研究了此类高维误差函数的性质，我们将其称为 $r$-重误差函数。随后，我们为符号 $(r,n-r)$ 格构造了不定 theta 级数，并表明通过使用这些 $r$-重误差函数，可以将它们完备化为模形式。