准费曼公式——一种获得薛定谔方程演化算符的方法

对于希尔伯特空间$\mathcal{F}$中一个稠定自伴算子$\mathcal{H}$，算子$\exp(-it\mathcal{H})$是薛定谔方程$i\psi'_t=\mathcal{H}\psi$的演化算子，即若$\psi(0,x)=\psi_0(x)$，则对于$x\in Q$，有$\psi(t,x)=(\exp(-it\mathcal{H})\psi_0)(x)$。这里的空间$\mathcal{F}$是定义在抽象空间$Q$（一个量子系统的位形空间）上的波函数$\psi$的空间，而$\mathcal{H}$是该系统的哈密顿量。本文利用一族自伴有界算子$S(t), t\geq 0$（该族算子与算子$-\mathcal{H}$是Chernoff相切的）表达了所有实数值$t$对应的算子$\exp(-it\mathcal{H})$。可以取$S(t)=\exp(-t\mathcal{H})$，或使用本文列出的其他简单算子族$S$。主要定理在$\mathcal{F}$中有界算子半群的层面上得到证明，因此由于其普适性，可用于更广泛的语境。文中提供了两个应用实例。