量子纠缠与行列式簇的几何

量子纠缠最初在 Einstein、Podolsky 和 Rosen 的著名论文 [18] 中作为量子力学的一个特征被认识到。近年来人们已意识到量子纠缠是量子计算、量子通信和量子密码学中的关键要素([16]、[17]、[6])。在本文中,我们针对 bipartite 或多体量子系统中的混合态,引入作为复射影空间或复射影空间之积中的行列式簇的代数集,作为其在局域酉变换下的不变量。这些不变量自然源于用可分纯态测量混合态的物理考量。如此一来,这些代数集的代数几何与复微分几何成为理解量子纠缠的有力工具。我们的构造在量子信息论以下重要主题中有应用:1) 可分性判据,证明了若混合态可分则代数集必为线性子空间之和;2) Schmidt 数的下界,即一般的低秩 bipartite 混合态在多个自由度上纠缠;3) 哈密顿量的模拟,证明了同秩半正定哈密顿量的模拟意味着相应代数集的射影同构;4) 束缚纠缠的构造,由我们的新可分性判据系统地构造出在部分转置下不变(从而是 PPT 束缚纠缠)的纠缠混合态之例。另一方面,从这一视角构造并研究了许多在其关联的行列式簇中具有丰富代数-几何结构的纠缠混合态之例。