量子-经典涨落关系与热力学第二定律：量子线性振子

本工作中，我们研究在外驱动周期 t = tau 内的量子线性振子的涨落关系与热力学第二定律。为超越该课题的标准方法（双点投影测量法），并在统一基础上于量子与经典领域展开讨论，我们用 Wigner 函数及其在相空间 (x,p) 中的传播子重述该标准方法。借助从 (x,p) 到角-作用坐标 (\phi,I) 的正则变换，我们可导出 Crooks 涨落关系在 Wigner 表示中无测量（类经典）的形式。这使我们能引入与单次从 (I_0) 到 (I_{tau}) 历经周期 tau 的运行相关联的功 W_{I_0,I_{tau}}，它是根植于经典热力学的热力学功的量子推广。该量子功不同于能量差 e_{I_0,I_{tau}} = e(I_{tau}) - e(I_0)，除非 beta, hbar --> 0。因此，我们将得到量子第二定律不等式 Delta F_{beta} \leq <W>_{P} \leq <e>_{P} = Delta U，其中 P、Delta F_{beta} 与 <W>_P 分别表示功的（准）概率分布、自由能差以及与内能差 Delta U 相区分的平均功，而 <W>_P --> Delta U 仅在 beta, hbar --> 0 的极限下成立。因此，即便对于热孤立系统，我们也可引入量子热 Q_q = Delta U - W，其源于系统中的量子涨落。这比标准方法所得 <W>_P = Delta U 更为精细。鉴于热力学功 W_{I_0,I_{tau}} 的无测量性质，我们的结果亦适用于（非热）初态 rho_0 = (1-gamma) rho_{beta} + gamma sigma，其中 sigma \ne rho_{beta}。