关于堆尔斯定律的二次项修正

堆尔斯定律或赫拉德定律通过幂函数刻画词类型与词令的关系，在线性尺度下呈凹函数，但在对数-对数尺度下呈直线。然而，观察发现即便在对数-对数尺度下，类型-令曲线仍略显凹陌，违背了幂律关系。在下一阶近似中，我们通过二十篇英语小说或文章（部分为从另一语言翻译成英语）表明，对数-对数尺度下的二次函数对类型-令数据拟合得非常完美。对log(type)-log(token)数据进行回归分析时，无论包含线性项还是二次项，线性系数始终略大于1，二次系数约为-0.02。利用“从袋中随机抽取带颜色的球并放回”模型，我们表明，对数尺度下的曲率等同于一个“伪方差”，该伪方差为负值。尽管伪方差计算在令数较大时可能遇到数值不稳定问题，由于伪权重值较大，但该形式化方法为令数较小时的曲率提供了粗略估计。