辛变换的伪微分表示及其在快速算法中的应用

辛变换（MT），也称为线性正则变换，是一种广泛应用于信号处理中的酉积分映射，可视为傅里叶变换的推广。对于 $N$ 维连续空间 $\textbf{q}$ 上的给定函数 $\psi$，$\psi$ 的 MT 由 $2N$ 维相空间 $(\textbf{q},\textbf{p})$ 的旋转（或更一般地，线性辛变换）参数化，其中 $\textbf{p}$ 是与 $\textbf{q}$ 对偶的波矢空间。在此，我们推导了 MT 的伪微分形式。对于小角度旋转或相空间的近恒等变换，它可直接得出 MT 的渐近微分表示，这些表示易于数值计算。大角度旋转通过连续应用 $K \gg 1$ 次小角度 MT 来实现。算法复杂度随 $O(K N^3 N_p)$ 变化，其中 $N_p$ 是网格点数。我们给出了该算法的数值实现，并讨论了如何缓解相关的数值不稳定性。