利用模自同态代数上的多项式证明 Cayley-Hamilton 定理

若 $R$ 是交换含幺环且 $M$ 是幺 $R$-模，则 $\operatorname{End}_R(M)$ 的每个元素确定了 $\operatorname{End}_{R}(M)$ 上的一个左 $\operatorname{End}_{R}(M)[X]$-模结构，其中 $\operatorname{End}_{R}(M)$ 是 $M$ 的自同态 $R$-代数，且 $\operatorname{End}_{R}(M)[X] =\operatorname{End}_{R}(M)\otimes_RR[X]$。这些结构给出了 Cayley-Hamilton 定理的一个非常简短的证明，可视为 Serge Lang 所著《代数》中证明的重新表述。利用所提出的方法，一些 Cayley-Hamilton 定理的推广也可被轻易证明。