混沌边缘的问题求解：熵、谜题与数独冻结相变

数独是一种广受欢迎的 $\mathcal{NP}$-完全组合谜题，其用于研究人类计算的前景近来受到关注，但数独求解的算法难度在很大程度上仍未被探索。在本文中，我们研究随机数独网格的统计力学性质，表明不同尺寸的谜题会达到一个与随机实例约束性中的临界行为相关的难度峰值。在此过程中，我们首次描述了数独的\emph{冻结}相变，表明当预填单元格密度被调节时，骨架变量所占比例经历相变。我们还揭示了数独消去策略适用性中的多种临界现象，解释了为何在数独出版商采用的典型线索密度范围之外谜题变得乏味。我们进一步表明，数独谜题的约束性可从其解的 informational（Shannon）熵角度理解，该熵仅增加至变量被冻结的临界点。我们的发现揭示了当图拓扑固定时 $k$-着色相变的性质，并呼吁对定义于\emph{全不同}约束上的问题中的相变现象进行研究。它们也提示了研究流行 $\mathcal{NP}$-Hard 谜题统计力学的优势，这既有助于困难实例的设计，也有助于理解人类问题求解的难度。