Fokker-Planck 方程的概率流解
机器学习
2023-02-17 v3 无序系统与神经网络
统计力学
数值分析
数值分析
概率论
摘要
在高维中积分含时 Fokker-Planck 方程的首选方法，是通过对关联随机微分方程进行积分来从解中生成样本。此处，我们研究一种基于积分描述概率流的常微分方程的替代方案。该方程作为传输映射，确定性地将初始密度下的样本推送到任意后续时刻解中的样本。与随机动力学积分不同，该方法的优势在于可直接获取仅凭轨迹难以估计的量，如概率流、密度本身及其熵。概率流方程依赖于解的对数梯度（其“得分”），因此先验未知。为解决此依赖，我们用深度神经网络对得分建模，该网络通过依据瞬时概率流传播一组样本进行在线学习。我们从理论上证明，所提方法控制了所学解到目标解的 KL 散度，而基于随机微分方程外部样本的学习则无法控制 KL 散度的任一方向。在经验上，我们考虑了来自相互作用粒子系统物理的若干高维 Fokker-Planck 方程。我们发现，当解析解存在时方法能精确匹配，不存在时也能匹配由蒙特卡洛计算的矩。此外，该方法对全局熵产生率的预测优于基于随机轨迹学习的结果，并能在长时间区间内有效捕捉非平衡稳态概率流。
引用
@article{arxiv.2206.04642,
title = {Probability flow solution of the Fokker-Planck equation},
author = {Nicholas M. Boffi and Eric Vanden-Eijnden},
journal= {arXiv preprint arXiv:2206.04642},
year = {2023}
}