黎曼流形与球面上函数型数据的主成分分析

非线性流形上的函数型数据分析近来引起了关注。球面取值的函数型数据（例如地球表面上的运动轨迹）是一个重要的特例。我们考虑针对光滑黎曼流形取值函数型数据的一种内在主成分分析，并研究其渐近性质。黎曼函数型主成分分析（RFPCA）首先通过黎曼对数映射将流形取值数据映射到围绕时变 Fréchet 均值函数的切空间，然后在线性切空间上执行经典的多元函数型主成分分析。随后利用指数映射获得原流形上黎曼流形取值函数与特征函数的表示。如果黎曼流形具有非负曲率，则通过函数型主成分分析的切空间近似在控制残差变异方面表现良好。具体而言，我们推导了均值函数的中心极限定理，以及其他模型分量（包括协方差函数、特征函数和函数型主成分得分）的 root-$n$ 一致收敛速率。我们的应用包括一种分析纵向组成数据的新框架，通过将纵向组成数据映射到球面上的轨迹来实现，并以纵向果蝇行为模式为例说明。在应用和模拟中，RFPCA 在轨迹恢复方面优于无约束函数型主成分分析，并且还被发现相比传统函数型函数型主成分得分，其产生的主成分得分是更好的分类预测因子。