平面域中路径规划的实际距离函数

路径规划是机器人学中的一个重要问题。在（不一定单连通的）平面域$\Omega$内两点$x,y$之间规划路径的一种方法是，在$\Omega\times\Omega$上定义一个非负距离函数$d(x,y)$，使得沿该距离函数的（下降）梯度行进即可追踪出这样一条路径。这带来了两个同等重要的挑战：数学挑战——定义$d$使得对于任意固定的$y$，$d(x,y)$仅有一个最小值（即当$x=y$时），因为局部最小值实质上是“死胡同”；计算挑战——定义$d$使其能够被高效计算。在本文中，给定$\Omega$的描述，我们展示如何为$\Omega$的每个点分配坐标，并利用这些坐标定义点之间的一族距离函数，从而同时满足数学与计算挑战。这是通过调和测度与$f$-散度的概念实现的。实际上，路径规划是在从$\Omega$采样得到的有限个站点集合上定义的离散网络上进行的，因此任何在连续域上表现良好的方法都必须被调整以在离散域上同样良好工作。给定从$\Omega$采样得到的一组站点，我们展示如何定义一个连接这些站点的网络，使得基于上述距离函数的贪心路由算法（连续梯度下降的离散对应）能够保证在该网络中生成任意两个此类站点之间的路径。在许多情况下，该网络接近于（理想的）平面图，尤其当站点集合稠密时。