随机图中$k$次选择的力量与彩虹生成树

我们考虑 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图过程，这是一个从$n$个顶点和无边开始，并在每一步从缺失边集中均匀随机选择一条新边加入的随机过程。令$\mathcal{G}(n,m)$为该过程经过$m$步后得到的具有$m$条边的图。$\mathcal{G}(n,m)$的每条边$e_i$ ($i=1,2,..., m$) 独立地从给定的$n-1$种颜色集合中均匀随机地选择恰好$k \in \mathbb{N}$种颜色（可将$e_i$视为多重边）。当以下两个事件成立时，我们在时刻$M$提前停止该过程：$\mathcal{G}(n,M)$是连通的，且每种颜色至少出现一次（如果在所有边出现之前某种颜色未出现，则$M={n \choose 2}$；然而，这在渐近几乎必然的情况下不会发生）。本文探讨的问题是$\mathcal{G}(n,M)$是否拥有一棵彩虹生成树（即在$n$个顶点上的多色树）。显然，这两个性质对于所需树的存在都是必要的。1994 年，Frieze 和 McKay 研究了$k=1$的情况，该问题的答案是肯定的（渐近几乎必然）。然而，由于连通性的尖锐阈值为$\frac {n}{2} \log n$，而观察到所有颜色的尖锐阈值为$\frac{n}{k} \log n$，因此$k=2$的情况尤为重要，因为在这种情况下两个过程能够相互保持同步。在本文中，我们证明了对于$k \ge 2$，答案同样是肯定的（渐近几乎必然）。