势能 Hessian 上升 III：在 Beta < 1/2 时抽取 Sherrington-Kirkpatrick 模型的 Gibbs 测度

我们给出一个多项式时间复杂度的算法，用于在总变差距离(TVD)误差可忽略的情况下抽取温度系数 $\beta < 1/2$ 的 Sherrington-Kirkpatrick 模型的 Gibbs 测度。先前的工作仅能保证 $\beta \approx 0.295$ 时的 TVD 误差上界，而覆盖整个副对称 regime $\beta < 1$ 的结果仅提供 Wasserstein 距离上的保证。我们的方法表明，之前用于优化的同一势能 Hessian 上升算法也可作为抽样算法，通过在高温下实现算法性随机局部化。我们通过估计倾斜 Gibbs 分布的协方差矩阵——使用高斯积分 by parts、叠加浓度以及精确的腔估计——表明 Hessian 上升过程在有限时间局部化时可实现 $O(1)$ 的 Wasserstein 误差上界，优于之前的 $o(n)$。通过仔细比较随机局部化与 Hessian 上升过程，并运用控制 Hessian 主子代数的数论概率论证明，将其改进为 $O(1)$ 的 KL 发散误差。随后我们结合 Jarzynski 定律进行 rejection 抽样，并对时刻 $T$ 局部化分布进行熵收缩，从而将误差细化至常数时间 $T$ 内的 $o(1)$ TVD 误差，并通过 polarized walk 完成抽样。