在缩放与分层 Matérn 及合流超几何协方差函数下高斯过程先验的后验集中

在非参数贝叶斯方法中，高斯随机过程可以作为实值函数空间上的先验。现有关于高斯过程先验下后验收敛速率的文献表明，如果高斯过程的平滑度与目标函数的平滑度相匹配，则有可能达到最优或接近最优的后验收缩速率。在这些先验中，具有参数化 Matérn 协方差函数的高斯过程尤为引人注目，因为其平滑度可以由一个专门的平滑度参数决定。\citet{ma2022beyond} 最近引入了一类新的协方差函数，称为合流超几何（CH）类，它同时具有两个参数：一个控制多项式衰减协方差函数的尾指数，另一个控制类似于 Matérn 类的均方平滑度。在本文中，我们证明了，通过在 Matérn 和 CH 协方差函数中适当选择缩放参数，对于具有固定设计的非参数回归模型，可以获得 $\eta$-正则函数的极小极大最优后验收缩速率。与未缩放情况下的先前结果不同，对于缩放后的 Matérn 或缩放后的 CH 协方差，协方差函数的平滑度参数无需等于 $\eta$ 即可实现最优极小极大速率，这说明了缩放的一个关键优势。我们还考虑了对缩放参数的完全贝叶斯处理，并证明由此产生的后验分布仍以极小极大最优速率收缩。由此产生的分层贝叶斯过程对未知的真实平滑度具有完全自适应性。