晶体框架的多项式与刚性单元模式谱

对于$\bR^d$中的每个离散平移周期性的杆-关节框架$\C$，我们关联一个定义在d-环面上的矩阵值函数$\Phi_\C(z)$。$\C$的刚性单元模式谱$\Omega(\C)$根据相位周期无穷小弯曲的多相位来定义，并表明对应于函数$z \to \rank \Phi_\C(z)$的奇异点，也对应于在长波长极限下能量为零的谐波激发的波矢集合。对于处于Maxwell计数平衡的晶体框架，即$\Phi_\C(z)$为方阵时，$\Phi_\C(z)$的行列式产生一个唯一的多变量多项式$p_\C(z_1,\dots,z_d)$。对于理想沸石，$p_\C(z)$在d-环面上的零点代数簇与RUM谱重合。该矩阵函数与理想化框架刚性和柔性的其他方面相关，特别是导出了超胞周期柔性模式数量的显式公式。在二维和三维的某些沸石框架情况下，直接证明了最大柔性模式性质（阶数$N$）。特别是，对于立方对称的方钠石框架和其他一些理想化沸石，情况如此。