稠密情形下 Weaver 偏差问题的多项式时间算法

给定 $v_1,\ldots, v_m\in\mathbb{C}^d$ 且对所有 $i\in[m]$ 满足 $\|v_i\|^2= \alpha$ 作为输入，并假设对每个单位向量 $u\in\mathbb{C}^d$ 均有 $\sum_{i=1}^m | \langle u, v_i \rangle |^2 = 1$，Weaver 偏差问题要求寻找 $[m]$ 的一个划分 $S_1, S_2$，使得对某个普适常数 $\theta$、每个单位向量 $u\in\mathbb{C}^d$ 以及每个 $j\in\{1,2\}$，均满足 $\sum_{i\in S_{j}} |\langle u, v_i \rangle|^2 \leq 1 -\theta$。我们证明，当 $m\geq 49 d^2$ 时，该问题可在多项式时间内确定性求解。