K-核与退化度的多项式趟数半流式下界

在图流算法研究中自然会产生以下问题：“是否存在这样的图问题，它‘不太难’，即可以用（近似）线性的总通信量（关于顶点数 $n$）高效解决，然而，任何具有 $\tilde{O}(n)$ 空间的流式算法（即半流式算法）都需要多项式 $n^{\Omega(1)}$ 趟数？”Assadi、Chen 和 Khanna [STOC 2019] 首次证明了情况确实如此。然而，他们得到的下界是针对相当非标准的图问题的。我们的第一个主要贡献是为先前在流式模型中研究过的自然“不太难”的图问题：$k$-核和退化度，提出了首个多项式趟数下界。我们为这两个问题设计了一种新颖的通信协议，具有近线性通信量，从而表明 $k$-核和退化度是“不太难”问题的自然例子。事实上，先前的工作已经开发了用于近似这些问题的单趟半流式算法。相比之下，我们证明任何用于精确解决这些问题的半流式算法都需要（几乎）$\Omega(n^{1/3})$ 趟。我们的第二个主要贡献是改进了作为这些归约基础的底层通信问题的轮次通信下界： * 我们改进了 Assadi、Chen 和 Khanna 先前关于隐藏指针追逐 (HPC) 的下界，以达到最优界。 * 我们观察到，目前所有从 HPC 的归约也可以适用于我们称之为 MultiHPC 的该问题的推广版本，并证明了该推广具有更强且最优的下界。这两个结果共同使我们能够将半流式算法的趟数下界提高一个多项式因子，即从 $n^{1/5}$ 趟提高到 $n^{1/3}$ 趟。