多项式对数边缘分布与图维公式：贝叶斯何时可能？

受图维公式中复合决策问题的启发，我们检讨了直接建模边缘密度 $m(y)$ 的经验贝叶斯估计器的理论基础。我们的主要结果表明，次数 $k \ge 3$ 的多项式对数边缘分布不可能来自指数族模型中的任何有效先验分布，而二次形式恰好对应于高斯先验。这为为何某些经验贝叶斯决策规则虽在实践中实用，却不对应于任何形式贝叶斯程序提供了理论依据。我们还通过表明，若边缘分布是高斯卷积，则其必延拓至平滑参数邻域内的有界 heat 方程解，进一步加强了诊断工具，超越了 $c(y)=\tfrac12 y^2+\log m(y)$ 的凸性。