Poisson 变换、BGG 复形与 SU(n+1,1) 的离散系列表示

本文旨在构造一种特定的 Poisson 变换，将赋予自然 CR 结构的球面 $S^{2n+1}$ 上的微分形式映射到复双曲空间上的形式。我们构造的变换其值为调和且余闭的，并下降至 BGG (Rumin) 复形，将该复形中的微分算子与外微分相互交织。转入 Poincar\'e 球模型后，我们分析了变换值的边界渐近行为，证明它们在次数 $\leq n$ 时允许连续延拓到边界。最后，我们表明在次数 $n$ 将外微分与变换复合，可获得次数 $n$ 中 Rumin 算子的核与复双曲空间上 $L^2$-调和形式的稠密子空间之间的同构。众所周知，后者实现了 $SU(n+1,1)$ 所有离散系列表示的直和，因此我们在紧流形 $S^{2n+1}$ 的微分形式空间上实现了这些表示。本文的发展受第三位作者证明 Baum-Connes 猜想某些实例的计划所驱动。文章的第一部分在更一般的设定下有效，也与该猜想尚未解决的情形相关。