二维紧致流形上Filippov向量场的Poincaré-Hopf定理

Poincaré-Hopf定理将二维紧致流形的欧拉示性数与定义在其上的光滑向量场的局部行为联系起来。然而，尽管Filippov向量场在理论与应用方面都十分重要，迄今为止尚不清楚该定理是否能推广到Filippov向量场。本文中，我们证明了Poincaré-Hopf定理适用于定义在具有光滑切换流形的二维紧致流形上的Filippov向量场。由此，我们建立了一个毛球定理的变体，断言“具有光滑切换流形的球面上的任意Filippov向量场必至少有一个具有正指标的奇点（在Filippov意义下）”。这一推广通过引入一种新的指标定义实现，该定义包含了Filippov向量场的奇点，如伪平衡点与平面奇点。我们的工作将光滑向量场奇点的经典指标定义推广到涵盖具有光滑切换流形的Filippov向量场奇点。该推广基于正则化过程下的不变性性质，使我们能建立所有经典指标性质。我们还计算了所有泛型Σ-奇点以及一些余维-1 Σ-奇点的指标，包括fold-fold切向奇点、regular-cusp切向奇点和鞍结伪平衡点。