植入式随机数划分问题

我们考虑随机数划分问题（\texttt{NPP}）：给定数列$X\sim \mathcal{N}(0,I_n)$，寻找划分$\sigma\in\{-1,1\}^n$使目标值$H(\sigma)=\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\langle \sigma,X\rangle\right|$较小。\texttt{NPP}在计算机科学中被广泛研究；它也与随机对照试验的设计密切相关。本文提出\texttt{NPP}的植入版本：固定$\sigma^*$并条件于$H(\sigma^*)\le 3^{-n}$生成$X\sim \mathcal{N}(0,I_n)$。\texttt{NPP}与其植入对应版本在统计上可区分，因为前者下最小目标值以高概率为$\Theta(\sqrt{n}2^{-n})$。我们的首要关注点是$H(\sigma)$的值。我们展示，或许令人惊讶地，植入并未诱导出目标值显著小于$2^{-n}$的划分：以高概率有$\min_{\sigma \ne \pm \sigma^*}H(\sigma) = \widetilde{\Theta}(2^{-n})$。此外，我们完整刻画了在距$\sigma^*$任意固定距离处达到的最小$H(\sigma)$。我们的第二关注点是高效寻找不一定等于$\pm\sigma^*$、但具较小$H(\sigma)$的划分$\sigma$的算法问题。我们展示植入\texttt{NPP}对值$2^{-\Theta(n)}$展现出称为多重重叠间隙性质（$m$-OGP）的复杂几何性质。我们随后利用$m$-OGP表明，满足某反集中性质的稳定算法无法找到$H(\sigma)=2^{-\Theta(n)}$的$\sigma$。我们的结果是$m$-OGP被建立并用于排除植入模型上稳定算法的首例。更重要的是，它们表明若算法目标是返回具小目标值的解，$m$-OGP框架亦可应用于植入模型。