Pipage 舍入、悲观估计量与矩阵集中

Pipage 舍入是一种具有若干有趣性质和多样化应用的依赖随机采样技术。其中一个特别有用的性质是结果向量的负相关性。不幸的是，负相关性有其局限性，且似乎无法从现有技术中得出一些进一步理想的性质。特别是，独立随机矩阵和的近期集中结果尚不知晓能否推广至负相关情形。我们引入了一种简单但有用的技术，称为悲观估计量的凹性。该技术使我们能够证明次模函数的集中性以及 Pipage 舍入下矩阵和的集中性。前者回答了 Chekuri 等人 (2009) 提出的问题。为了证明后者，我们推导了矩阵分析中著名的 Lieb 凹性定理的一个新变体。我们提供了这些结果的众多应用。其中之一是谱细树，这是最近在不对称旅行商问题突破中起关键作用的细树的谱类比。我们展示了一种多项式时间算法，给定一个每条边有效电导率至少为 $\kappa$ 的图，该算法返回一棵 $O(\kappa^{-1} \cdot \log n / \log \log n)$-谱细树。其他应用还包括半定规划的舍入、列子集选择问题，以及从各向同性分布中提取近乎标准正交基的几何问题。