物理信息神经网络：完整训练循环的教学性推导

本文是对物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）完整训练循环的逐步、自包含指南，此类教程和指南通常委托自动微分库而不暴露底层代数。我们以一阶常数值问题（已知解析解）为贯穿示例，逐步演示整个流程：网络输出及其时间导数的前向传播、基于 ODE 残差和初始条件构建复合损失函数、反向传播梯度——特别关注隐藏层中出现的乘法法则——以及梯度下降参数更新。所有计算均使用具有 1-3-3-1 结构的多层感知机（两隐藏层、22 个可训练参数）给出显式、可验证的数值。从这些具体实例出发，我们推导一般递归公式——表述为灵敏度传播关系——以扩展梯度计算至任意深度的网络，并将这些公式关联到实际中使用的自动微分引擎。训练后的网络随 exact solution 进行验证，在仅使用物理信息损失的情况下，以 $4.290 \times 10^{-4}$ 的相对 $L^2$ 误差实现验证，未使用真实解的数据。附带的 Jupyter/PyTorch 笔记本复现每一步手动计算和完整训练流程，为手工推导与机器计算的梯度提供相互验证。