正定矩阵的黎曼中位数

我们提出了正定矩阵组 $\mathbb{A}:=(A_{1}, \cdots, A_{n})$ 的黎曼中位数 $M(\mathbb{A})$ 的定义。我们将其定义为正定矩阵，部分借鉴了 Landers 和 Rogge 的工作[cite]，而非像 Yang 的工作[cite]那样定义为集合。在正定矩阵集合中采用黎曼轨迹度量，我们证明了以下不等式：$$\delta(M, \Lambda) \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\delta(A_{k}, \Lambda) \leq \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \delta(A_{k}, \Lambda)^{2}},$$其中 $M=M(\mathbb{A})$，$\Lambda$ 为 $\mathbb{A}$ 的 Karcher 均值，$\delta$ 为由黎曼轨迹度量诱导的黎曼距离。这一不等式是 $|\mu-m| \leq \sigma$（其中 $\mu$, $m$ 和 $\sigma$ 分别为实值数据点的均值、中位数和标准差）的类比。此外，我们研究了交换情形，探讨了离群值对黎曼中位数的影响、仿射不变性、联合齐次性、自二次性以及在特殊情况下的单调性，并构造了一个反例表明黎曼中位数在一般情况下单调性不成立。