C(K)单位球面上的相位等距映射

我们说两个实赋范空间$X$和$Y$的单位球面之间的映射$T: S_X\rightarrow S_Y$是一个相位等距映射，如果它满足\begin{eqnarray*} \{\|T(x)+T(y)\|, \|T(x)-T(y)\|\}=\{\|x+y\|, \|x-y\|\} \end{eqnarray*} 对所有$x,y\in S_X$成立。在本文中，我们证明存在一个相位函数$\varepsilon:S_X\rightarrow \{-1,1\}$使得$\varepsilon \cdot T$是一个等距映射，并且当$T$是满射、$X=C(K)$($K$为紧Hausdorff空间)且$Y$为任意Banach空间时，可扩展为整个空间$X$上的线性等距映射。此外，若$T$是$C(K)$与$C(\Omega)$单位球面之间的相位等距映射，其中$K$和$\Omega$为紧Hausdorff空间，我们证明存在一个同胚$\varphi: \Omega\rightarrow K$使得对所有$f\in S_{C(K)}$有$T(f)\in\{f\circ \varphi,-f\circ \varphi\}$。这也可视为$C(K)$空间中相位等距映射的Banach-Stone型表示。