具有少量逆序的排列是局部均匀的

我们证明具有少量逆序的排列在如下意义下表现出局部-全局二分性。假设 ${\boldsymbol\sigma}$ 是从 $[n]$ 中所有恰有 $m=m(n)\ll n^2$ 个逆序的排列集合里均匀随机选取的排列。若 $i<j$ 从 $[n]$ 中均匀随机选取，则渐近几乎必然有 ${\boldsymbol\sigma}(i)<{\boldsymbol\sigma}(j)$。然而，若选取的 $i$ 和 $j$ 满足 $j-i\ll m/n$，且 $m \ll n^2/\log^2 n$，则 $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\big[{\boldsymbol\sigma}(i)<{\boldsymbol\sigma}(j)\big]=\frac{1}{2}$。此外，若 $k=k(n)\ll \sqrt{m/n}$，则 ${\boldsymbol\sigma}$ 在随机 $k$ 点区间上的限制渐近均匀地分布于 $\mathcal{S}_k$ 上。因此，关于 ${\boldsymbol\sigma}$ 局部结构的知识无法揭示其全局形式。我们确立了 $\sqrt{m/n}$ 为局部均匀性的阈值、$m/n$ 为逆序的阈值，并确定了临界窗口中的行为。如一位审稿人所指出，证明中存在似乎不易修正的缺陷（见第 9 页与第 15 页的评论）。因此上述结果尚未被确立。