使用冗余框架的稀疏表示性能界

我们考虑在维度为 $N$ 的复向量空间中通过框架的元素对信号进行近似，并系统地阐述了无噪声和有噪声的稀疏表示问题。无噪声表示问题是在已知存在稀疏表示的情况下，寻找信号 $\mathbf{r}$ 的稀疏表示。在此情况下，我们显式地构造了一个框架，称为 Vandermonde 框架，只要 $\mathbf{r}$ 的稀疏表示中非零系数的个数为 $\epsilon N$（其中 $0 \le \epsilon \le 0.5$），该无噪声稀疏表示问题即可使用 $O(N^2)$ 次运算唯一求解，从而改进了 Candes 和 Tao \cite{Candes-Tao} 的结果。我们还证明了 $\epsilon \le 0.5$ 不能放宽，否则会破坏唯一性。有噪声稀疏表示问题是寻找满足失真准则的信号 $\mathbf{r}$ 的稀疏表示。在此情况下，我们建立了任何给定框架的表示稀疏性、潜在失真与冗余度之间折中的下界。