皮尔逊距离并非距离

随机变量对 $X,Y$ 在相关系数为 $\rho_{xy}$ 时的皮尔逊距离，即 1-$\rho_{xy}$，已获得广泛使用，特别是在基因表达分析、脑成像和网络安全等领域的聚类中。在所有这些应用中，都隐式地假设/要求距离度量满足度量性质，从而满足三角不等式。然而我们证明，皮尔逊距离不是度量。我们进一步指出可通过回顾一个结果（在其他文献中众所周知）来补救，即 $\sqrt{1-\rho_{xy}}$ 是度量。我们类似地证明一个相关的感兴趣度量 $1-|\rho_{xy}|$（它对 $\rho_{xy}$ 的符号不变）不是度量，但 $\sqrt{1-\rho_{xy}^2}$ 是。我们也给出了这些结果的推广。