基于SAGA的含不确定参数PDE约束最优控制问题

我们考虑一类带随机系数的偏微分方程（PDE）最优控制问题（OCP）。最优控制函数是一个确定性的分布强迫项，使期望二次正则化损失泛函最小化。对于该PDE约束OCP的数值逼近，我们将目标泛函中的期望替换为合适的求积公式，并最终通过Galerkin方法离散化PDE。为实际求解此类近似OCP，我们提出了SAGA算法的重要性采样版本，这是一种具有定长记忆项的随机梯度算法，在每次迭代中仅在一个随机选取（可能非均匀）的求积点处计算损失泛函的梯度。我们对所提数值格式给出了完整的误差与复杂度分析。特别地，我们将带重要性采样的广义SAGA算法与应用于同一离散化OCP的随机梯度（SG）和共轭梯度（CG）算法的复杂度进行比较。我们证明SAGA在迭代次数上像CG算法一样指数收敛，并具有相似的渐近计算复杂度（就计算代价与精度而言，正比于无并行计算时所需时间）。此外，如我们的数值实验所示，它具有良好的预渐近性质，使其在有限预算情形下具有吸引力。