树状图上含单个熵陷阱的路径计数：临界行为与有限尺寸效应

已知最大熵随机游动与计数图上长路径的配分函数往往会在高 degree 节点附近局域化。此处，我们重访此类局域化的最简单玩具模型：一个度为 $p$ 的正则树，带有一个度不同于其余所有节点的特殊节点（“根”）。我们对该路径计数问题在局域化相变处的情形进行了深入研究。我们研究了从根出发、在无限树与有限局部树状正则随机图（RRG）中的路径。对于无限树，我们证明路径端点的概率分布函数是一个阶跃函数。该阶跃的位置以恒定速度 $v=(p-2)/p$ 远离根移动。我们求得该激波附近分布的宽度与渐近形状。对于有限 RRG，我们表明会发生临界慢化，达到平衡分布所需的轨迹长度量级为 $\sqrt{N}$，而非相变外时的 $\log_{p-1}N$。我们计算了平衡分布与弛豫长度的精确值，以及慢弛豫模的形状。