半 Pfaffian 集合族的分割定理及其应用

我们将 Guth 和 Katz 开创性的多项式分割定理推广到半 Pfaffian 集合族。具体而言，给定 $\mathbb{R}^n$ 中 $k$ 维半 Pfaffian 集合的集合 $\Gamma$，其中每个 $\gamma \in \Gamma$ 由固定数量的 Pfaffian 函数定义，且每个 Pfaffian 函数又相对于长度为 $r$ 的 Pfaffian 链 $\vec{q}$ 定义，对于任意 $D \ge 1$，我们证明了存在一个次数至多为 $D$ 的多项式 $P \in \mathbb{R}[X_1, \ldots, X_n]$，使得 $\mathbb{R}^n \setminus Z(P)$ 的每个连通分量与 $\Gamma$ 中至多 $\sim \frac{|\Gamma|}{D^{n - k - r}}$ 个元素相交。此外，在关于 $\vec{q}$ 的某些温和条件下，对于任意 $D \ge 1$，我们证明了存在一个相对于 $\vec{q}$ 定义的次数至多为 $D$ 的 Pfaffian 函数 $P'$，使得 $\mathbb{R}^n \setminus Z(P')$ 的每个连通分量与 $\Gamma$ 中至多 $\sim \frac{|\Gamma|}{D^{n-k}}$ 个元素相交。为此，给定一个 $k$ 维半 Pfaffian 集合 $\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ 和一个次数至多为 $D$ 的多项式 $P \in \mathbb{R}[X_1, \ldots, X_n]$，我们建立了 $\mathcal{X}$ 与 $\mathbb{R}^n \setminus Z(P)$ 相交的连通分量数量的统一上界；即证明了 $(\mathbb{R}^n \setminus Z(P)) \cap \mathcal{X}$ 的连通分量数量至多为 $\sim D^{k+r}$。最后，作为应用，我们推导出 Szemerédi-Trotter 型定理的 Pfaffian 版本，并证明了 Pfaffian 曲线之间关节数的界。