部分单调自适应子模最大化

许多序贯决策问题，包括基于池的主动学习和自适应病毒式营销，都可以表述为自适应子模最大化问题。现有关于自适应子模优化的研究大多聚焦于单调情形或非单调情形。具体而言，若效用函数是单调且自适应子模的，\cite{golovin2011adaptive} 提出了一种贪心策略，在基数约束下达到 $(1-1/e)$ 的近似比。若效用函数是非单调且自适应子模的，\cite{tang2021beyond} 证明了随机贪心策略在基数约束下达到 $1/e$ 的近似比。本文旨在通过研究部分单调自适应子模最大化问题来推广上述结果。为此，我们引入自适应单调比 $m\in[0,1]$ 的概念以衡量函数的单调程度。我们的主要结果是证明：若效用函数是 $m$-自适应单调且自适应子模的，则随机贪心策略可达到 $m(1-1/e)+(1-m)(1/e)$ 的近似比。值得注意的是，当 $m = 0$ 和 $m = 1$ 时，该结果分别恢复了前述 $1/e$ 和 $(1-1/e)$ 的近似比。我们进一步将结果扩展至背包约束情形，证明若效用函数是 $m$-自适应单调且自适应子模的，则基于采样的策略可达到 $(m+1)/10$ 的近似比。我们结果的一个重要含义是：即便对于非单调效用函数，只要其“接近”单调函数，仍可达到接近 $(1-1/e)$ 的近似比。这为许多效用函数几乎自适应单调的机器学习应用带来了改进的性能界。