Parry 拓扑传递性与 f-展开

Parry 在其 1964 年关于 f-展开的论文中，研究了区间 [0,1) 上的分段连续、分段单调映射 F，并引入了一种不同于任何现代定义的拓扑传递性概念。我们将这一概念称为 Parry 拓扑传递性 (PTT)，即存在某个 $x\in[0,1)$，其向后轨道 $O^-(x)=\{y:x=F^ny \text{ for some } n\ge 0\}$ 是稠密的。我们将拓扑传递性 (TT) 定义为存在某个 $x$ 具有稠密的前向轨道。Parry 在 f-展开中的应用表明，PTT 意味着将 [0,1) 划分为 F 的“纤维”构成了一个生成划分（即 f-展开是“有效”的）。我们证明了 TT 也具有相同的结果，并据此表明对于区间映射 F，TT 蕴含 PTT。此外，还为紧度量空间上的连续映射 F 提供了单独的证明。反之则不成立。