基于多元矩阵束方法的并行 Prony 法及其数值问题

Prony 法是一种标准工具，用于解决许多成像和数据分析问题，这些问题归结为稀疏指数和中的参数辨识 $$f(k)=\sum_{j=1}^{T}c_{j}e^{-2\pi i\langle t_{j},k\rangle},\quad k\in \mathbb{Z}^{d},$$ 其中参数两两不同 $\{ t_{j}\}_{j=1}^{M}\subset [0,1)^{d}$，且 $\{ c_{j}\}_{j=1}^{M}\subset \mathbb{C}\setminus \{ 0\}$ 为非零。我们研究的重点是基于多元矩阵束方法的 Prony 法变体。该方法由采样值构造矩阵 $S_{1}$, \ldots , $S_{d}$，它们的同时对角化给出参数 $\{ t_{j}\}_{j=1}^{M}$。参数 $\{ c_{j}\}_{j=1}^{M}$ 作为线性最小二乘问题的解来计算，该问题的矩阵由 $\{ t_{j}\}_{j=1}^{M}$ 确定。由于该方法涉及一定数量的矩阵的独立生成与处理，整个计算过程在多个层面上具有内在并行能力。因此，我们提出 Prony 法的并行版本以提高其效率。有关矩阵生成的任务在 GPU 的线程块和 CPU 之间分配，其中较重的负载置于 GPU 上。从算法角度看，CPU 专用于更复杂的任务。通过精心选择求解子任务的算法，CPU 与 GPU 之间的负载得以平衡。除并行化技术外，我们还关注一些数值问题，并在含噪输入数据情况下给出了该方法的详细数值分析。最后，我们进行了一组数值测试，证实了并行算法的优越效率以及前向误差与数值分析结果的的一致性。