N+1 维 FRW 宇宙中的 p 膜动力学

我们研究了在具有 $N+1$ 维的平坦膨胀或坍缩的均匀各向同性宇宙中（其中 $N \ge 3$，$p < N$，$0 \le i < p$），具有 $S_{p-i}\otimes \mathbbm{R}^i$ 拓扑的最大对称 $p$ 膜的演化。我们求得了相应的运动方程，并计算了相空间中轨迹的新解析解。对于常数哈勃参数 $H$ 且 $i=0$ 的情况，我们证明了所有物理半径低于某个临界值 $r_c^0$ 的初始静态解都是周期性的，而那些具有更大初始半径的解在晚期会在共动坐标中冻结。我们找到了一个具有恒定速度和物理半径 $r_c$ 的稳态解，并计算了周期性 $p$ 膜解的均方根速度以及 $p$ 膜气体的相应（平均）状态方程。我们还研究了在宇宙演化由具有恒定状态方程参数 $w={\cal P}_p/\rho_p$ 的理想流体驱动的模型中 $H \neq {\rm constant}$ 时的 $p$ 膜动力学，并表明对于 $-1 \le w < w_c$（其中 $w_c=(2-N)/N$），仍然可以定义一个临界半径 $r_c$。我们进一步表明，对于 $w \sim w_c$，临界半径近似由 $r_c H \propto (w_c-w)^{\gamma_c}$ 给出，其中 $\gamma_c=-1/2$（当 $w \to w_c$ 时 $r_c H \to \infty$）。最后，我们讨论了宇宙的大尺度动力学对极小环的宏观演化可能产生的影响。