算子型小波在表示稀疏 AR(1) 过程中的最优性

众所周知，高斯一阶自回归 (AR(1)) 过程的 Karhunen-Lo\`{e}ve 变换 (KLT) 会产生正弦基函数。同样的正弦基也出现在独立成分分析 (ICA) 中，实际上对应于样本完全独立的过程。在本文中，我们放宽高斯假设，研究正交变换如何解耦对称$\alpha$稳定 (S$\alpha$S) AR(1) 过程。高斯情形不具有稀疏性，对应于$\alpha=2$，而$0<\alpha<2$则产生具有稀疏线性预测误差的过程。在存在稀疏性的情况下，我们证明了算子型小波基的表现优于正弦基。此外，我们观察到，对于增量非常稀疏的过程 ($0<\alpha\leq 1$)，算子型小波基与通过数值优化获得的 ICA 解无法区分。我们考虑了两个独立性判据。第一个是原始信号的联合概率密度函数 (pdf) 与变换域中边缘分布乘积之间的 Kullback-Leibler 散度。第二个是基于加性高斯噪声中均方估计误差的 Stein 公式，衡量原始信号的联合 pdf 与变换域中边缘分布乘积之间的散度。我们的框架提供了一个统一的视角，涵盖了离散余弦变换（已知在$\alpha=2$时渐近最优）和 Haar 型小波（我们在$0<\alpha\leq1$时对其实现了最优性）。