分布式重击元素与分位数的最优追踪

我们考虑在分布式流模型中追踪重击元素和分位数的问题。重击元素和分位数是刻画数据分布的两个重要统计量。设 $A$ 为取自全集 $U=\{1,...,u\}$ 的元素多重集。对于给定的 $0 \le \phi \le 1$，$\phi$-重击元素是 $A$ 中频率至少为 $\phi |A|$ 的那些元素；$A$ 的 $\phi$-分位数是 $U$ 中的一个元素 $x$，使得 $A$ 中小于 $x$ 的元素至多有 $\phi|A|$ 个，大于 $x$ 的元素至多有 $(1-\phi)|A|$ 个。假设 $A$ 的元素随时间在 $k$ 个远程站点被接收，每个站点与一个指定的协调者之间有双向通信信道，其目标是以最小通信开销始终近似追踪 $A$ 的 $\phi$-重击元素集合和 $\phi$-分位数。我们为这两个问题给出了最坏情况通信开销为 $O(k/\eps \cdot \log n)$ 的追踪算法，其中 $n$ 为 $A$ 中元素的总数，$\eps$ 为近似误差。这显著改进了先前已知的算法。我们还给出了这两个问题通信开销的匹配下界，证明我们的算法是最优的。我们还考虑了该问题的一个更一般版本，即同时追踪所有 $0 \le \phi \le 1$ 的 $\phi$-分位数。