漂移项带扰动的$\mathbb{T}^d$上随机微分方程的最优响应

我们研究了d维平坦环面$\mathbb{T}^d$上的随机微分方程，其漂移和扰动系数属于$L^{\infty}(\mathbb{T}^d;\mathbb{R}^d)$，并带有加性非退化噪声。对于相关的转移算子，我们分析了平稳测度以及给定观测量的期望对漂移项小扰动的依赖性。在此框架下，我们证明了不变密度和给定观测量期望的线性响应公式。随后，我们解决了一个最优响应问题，即确定使指定观测量的第一阶变分最大化的容许扰动。我们证明了最优扰动的存在性，并在希尔伯特空间框架下证明了唯一性，并给出了最优解的显式刻画。这产生了一种实用的基于傅里叶的数值方法，我们在包括低维和高维设置的多个数值算例中实现了该方法。