Barker 提议及其他局部平衡 Metropolis-Hastings 算法的最优设计

我们研究 Livingstone & Zanella (2021) 引入的一类一阶局部平衡 Metropolis--Hastings 算法。要在该类中选择特定算法，用户必须选取一个满足 $g(t) = tg(1/t)$ 的平衡函数 $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$，以及提议增量的噪声分布。该类中的流行选择包括 Metropolis 调整的朗之万算法和最近引入的 Barker 提议。我们首先在 $g$ 的温和光滑性假设下，且当算法的目标分布为乘积形式时，建立了该类所有成员在维度 $n$ 趋于无穷时的普适极限最优接受率 57% 和 $n^{-1/3}$ 的缩放。特别地，我们得到了该类任意算法渐近效率的显式表达式，以期望平方跳跃距离度量。然后我们考虑如何在各种约束下优化该表达式。我们推导了 Barker 提议的最优噪声分布、高斯噪声分布下的最优平衡函数，以及整个类中最优的一阶局部平衡算法，后者被发现依赖于特定的目标分布。数值模拟证实了我们的理论发现，特别地表明 Barker 提议中双峰噪声分布的选择产生了一个实用算法，其效率始终高于原始的高斯版本。