最优桥、双桥及更进一步：在道路网络中插入边以最小化受约束直径

给定由平面直线图 $G=(V,E)$ 表示的道路网络，其中 $|V|=n$，设 $(u,v)\in V\times V$，其最短路径（距离）记为 $\delta_G(u,v)$。记 $\delta(G)=\max_{(u,v)}\delta_G(u,v)$，其中 $(u,v)\in V\times V$，称为 $G$ 的直径。给定由两个不相连的树 $T_1$ 和 $T_2$ 表示的不连通道路网络，本文首先旨在插入一个或两个边（桥梁） between them，以最小化（受约束的）直径 $\delta(T_1\cup T_2\cup I_j)$ 穿过插入的边，其中 $I_j, j=1,2$，是插入边的集合，$|I_1|=1$ 和 $|I_2|=2$。相应的问题称为{\em 最优桥}和{\em 双桥}问题。由于当在两个树之间插入多个边时，结果图变得更加复杂，对于一般网络 $G$，我们考虑插入最小 $k$ 条边，以使给定 $m$ 对 $(u_i,v_i)$ 的最短距离都减小的问题，其中 $(u_i,v_i)\in V\times V, i\in [m]$，且 $\delta_G(u_i,v_i)$ 均减小。本文的主要结果概述如下：(1) 我们证明最优桥问题可在 $O(n^2)$ 时间内求解，且其的一个变体除非 SETH 失败，否则具有近二次下界。该证明还暗示著名的 3-SUM 问题确实具有近二次下界，例如每个输入整数都有 $\Omega(\log n)$ 位十进制位数。我们然后给出一个简单因 2 的 $O(n\log n)$ 时间近似算法来求解最优桥问题。(2) 我们提出一个 $O(n^4)$ 时间算法来求解双桥问题，利用了最优桥问题中未出现的某些新性质。(3) 对于插入 $k$ 条边以减少给定 $m$ 对的（图）距离的问题，我们证明该问题是 NP 完备的。