使用高阶 Voronoi 图实现带离群点 PCA 的最优边界

本文介绍了用于主成分分析（PCA）的新型算法，处理离群点问题。通过计算几何中的技术，特别是高阶 Voronoi 图，我们能够在离群点存在的情况下导航至 PCA 的最优子空间。该方法实现了时间复杂度为 $n^{d+\mathcal{O}(1)}\text{poly}(n,d)$ 的最优解。此外，我们还提出了一个时间复杂度为 $2^{\mathcal{O}(r(d-r))} \times \text{poly}(n, d)$ 的随机算法。该算法通过采样以 Grassmann 流形中特征化的子空间。通过采用这种采样方法，我们确保以高概率捕获最优子空间，成功概率为 $(1 - \delta)^T$。其中 $\delta$ 表示采样子空间不包含最优解的概率，$T$ 为采样子空间的数量，与 $2^{r(d-r)}$ 成正比。我们使用高阶 Voronoi 图和基于 Grassmann 的采样方法，为处理大数据集或高维情形提供了更清晰的概念路径和实际优势。