存在离群点情况下的低秩近似

我们考虑存在离群点情况下的主成分分析 (PCA) 问题。给定矩阵 $A$ ($d \times n$) 和参数 $k, m$，目标是移除 $A$ 中至多 $m$ 列的集合（称为离群点），以最小化剩余矩阵的秩 $k$ 近似误差。尽管关于该问题的大部分工作都集中在基于内点和离群点假设来恢复秩 $k$ 子空间，但我们关注上述近似问题。我们的主要结果表明，在无离群点情况下开发的基于采样的方法即使在存在离群点时也能提供非平凡的保证。利用这一见解，我们开发了一种具有双准则保证的简单算法。此外，与聚类问题的类似表述不同，我们证明在适当的复杂性假设下，双准则保证对于该问题是不可避免的。