面向 Hott 物品的在线矩阵完成：一种协作方法

我们研究了在在线设置下进行低秩矩阵完成问题，涉及 ${M}$ 个用户、${N}$ 个物品、${T}$ 轮以及未知秩-${r}$ 奖励矩阵 ${R}\in \mathbb{R}^{{M}\times {N}}$。该问题在文献中已有多种研究，具有诸多实际应用。在每一轮中，我们为每个用户精心挑选 ${S}$ 个不同的物品进行推荐，并观察其带噪声的奖励。在 ${M},{N} >> {T}$ 的情况下，我们提出两种计算效率高的算法，用于向用户推荐物品，并在良性假设下进行分析，即 hott 物品假设。1）对于 ${S}=1$，在 ${R}$ 上的额外非一致性/光滑性假设下，我们提出了相位算法 \textsc{PhasedClusterElim}。我们的算法获得近最优的 per-user 失望为 $\tilde{O}({N}{M}^{-1}(\Delta^{-1}+\Delta_{{hott}}^{-2}))$，其中 $\Delta_{{hott}},\Delta$ 为问题相关的间隙参数，且 $\Delta_{{hott}} >> \Delta$ 通常成立。2）第二种情况下，我们考虑 ${S}=r$ 的简化设置，对 ${R}$ 的假设显著放宽。在此情况下，我们引入另一种相位算法 \textsc{DeterminantElim}，以获得 $\widetilde{O}({N}{M}^{-1/r}\Delta_{det}^{-1}))$ 的失望保证，其中 $\Delta_{{det}}$ 为另一个问题相关的间隙。两种算法都关键地利用用户之间的协作，以在阶段中依次消除用户组的亚最优物品，但采取独特且新颖的方法。