$\mathbb{R}^2$ 中超越单位球的在线几何击中集与集合覆盖

我们研究了范围空间 $\Sigma=({\cal P},{\cal S})$ 中几何击中集问题的在线设置，其中集合 $\P\subset\mathbb{R}^2$ 是 $n$ 个点的集合，集合 $\cal S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中几何对象的族。在在线设置中，几何对象逐个到达。当一个对象到达时，在线算法必须通过做出不可逆的决策来维护一个有效的击中集，即一旦一个点被算法加入击中集，它将来不能被删除。几何击中集问题的目标是找到最小基数的击中集。Even 和 Smorodinsky (Discret. Appl. Math., 2014) 考虑了一种在线模型（模型-I），其中范围空间 $\Sigma$ 预先已知，但 $\cal S$ 中输入对象的到达顺序未知。他们提出了对于 $\mathbb{R}^2$ 中区间、半平面和单位圆盘具有 $\Theta(\log n)$ 最优竞争比的在线算法。对于单位正方形是否存在这样的算法长期悬而未决。本文考虑了一种在线模型（模型-II），其中整个范围空间 $\Sigma$ 不预先已知。我们仅预先知道集合 $\cal P$ 而不知道集合 $\cal S$。注意，任何用于模型-II的算法也适用于模型-I，但反之则不成立。在模型-II中，我们获得了 $\mathbb{R}^2$ 中单位圆盘和正 $k$ 边形（$k\geq 4$）的 $\Theta(\log(n))$ 最优竞争比。上述所有结果也适用于模型-II中等价的几何集合覆盖问题。