在线凸覆盖与凸填充问题

我们研究在线凸覆盖问题和在线凸填充问题。（离线）凸覆盖问题由以下凸规划建模：$\min_{x \in R_+^n} f(x) \ \text{s.t}\ A x \ge 1$，其中 $f : R_+^n \mapsto R_+$ 是单调凸代价函数，$A$ 是一个元素非负的 $m \times n$ 矩阵。约束矩阵 $A$ 的每一行对应一个覆盖约束。在在线问题中，$A$ 的每一行依次到达，算法必须维持一个可行赋值 $x$ 且只能随时间增加 $x$。（离线）凸填充问题由以下凸规划建模：$\max_{y\in R_+^m} \sum_{j = 1}^m y_j - g(A^T y)$，其中 $g : R_+^n \mapsto R_+$ 是单调凸代价函数。当 $g$ 是 $f$ 的凸共轭时，它是凸覆盖的Fenchel对偶规划。在在线问题中，每个变量 $y_j$ 在线到达，算法必须在到达时决定 $y_j$ 的值。我们利用在线原始对偶技术为两个问题提出了简单的在线算法，并在多项式代价函数这一重要特例下获得了近乎最优的竞争比。对于任意具有非负系数且最大次数为 $\tau$ 的凸多项式代价函数，我们提出了 $O(\tau \log n)^\tau$-竞争的在线凸覆盖算法，以及 $O(\tau)$-竞争的在线凸填充算法，分别匹配已知的 $\Omega(\tau \log n)^\tau$ 和 $\Omega(\tau)$ 下界。有大量在线资源分配问题可在该在线凸覆盖与填充框架下建模，包括在线覆盖与填充问题（具有线性目标）、在线混合覆盖与填充、以及在线组合拍卖。我们的框架允许我们使用统一的方法研究这些问题。