凸多边形的在线排序与平移装箱

我们研究了若干在线装箱问题，其中凸多边形逐个到达，并必须不可撤销地放入容器中，目标是最小化所用空间。除其他变体外，我们考虑带状装箱（strip packing）与箱式装箱（bin packing），其容器分别为无限水平带 $[0,\infty)\times [0,1]$ 或一组 $1 \times 1$ 的箱子。我们建立了与如下在线排序问题 OnlineSorting$[\gamma,n]$ 的有趣联系：我们逐个接收实数流 $s_1,\ldots,s_n$，$s_i\in[0,1]$。每个实数必须被放入具有 $\gamma n$ 个初始空单元的数组 $A$ 中，且不知后续实数。目标是最小化 $A$ 中相邻实数之差的和。离线最优是将实数按排序顺序放置，从而代价至多为 $1$。我们证明，对于 OnlineSorting$[\gamma,n]$ 的任意 $\Delta$-竞争在线算法，有 $\gamma \Delta \in\Omega(\log n/\log \log n)$。我们利用该下界证明了多种凸多边形在线平移装箱问题（其中包括带状装箱、箱式装箱和周长装箱）不存在竞争算法。这也意味着不存在能将直径与总面积至多为 $\delta$ 的所有碎片流都装入单位正方形的在线算法。这些结果不同于碎片被限制为矩形的情形，后者已有竞争算法。同样，装箱凸多边形的离线版本具有常数因子近似算法。作为补充，我们也给出了在线排序与仅平移在线带状装箱的非平凡竞争比算法。我们的带状装箱算法依赖于一种将带递归细分为不同高度、厚度和斜率的平行四边形的新技术。