最小余秩的一致最可靠图的不存在性

若$G$为简单图且$\rho\in[0,1]$，可靠度$R_G(\rho)$是指$G$的每条边以概率$\rho$独立移除后$G$仍连通的概率。若对每個$\rho\in[0,1]$及每个与$G$具有相同顶点数和边数的简单图$H$均有$R_G(\rho)\geq R_H(\rho)$，则简单图$G$称为\emph{一致最可靠图}(UMRG)。Boesch [J. Graph Theory 10 (1986), 339--352]猜想：若$n$和$m$使得存在具有$n$个顶点和$m$条边的连通简单图，则也存在具有相同顶点数和边数的UMRG。Kelmans、Myrvold等人以及Brown和Cox给出了Boesch猜想的一些反例。已知当余秩（定义为$c=m-n+1$）不超过$4$时Boesch猜想成立（且相应的UMRG已被完全刻画）。Ath和Sobel猜想：只要顶点数至少为$2c-2$，当余秩$c$在$5$到$8$之间时Boesch猜想成立。本文中，我们给出余秩为$5$的Boesch猜想反例的无穷族。这些是首批达到最小可能余秩的已报道反例。作为副产品，Ath和Sobel的猜想被否定。