关于与球面上最速下降曲线及自对偶凸集相关的变分问题

设 $\mathcal{C}$ 为 $\rn$ 中半球内紧凸子集 $S$ 的族，其性质为 $S$ 包含其对偶 $S^*$；令 $u\in S^*$，并设 $\Phi(S,u)=\frac{2}{\omega_n}\int_{S}\ < \theta, u \ > \,\, d\sigma(\theta).$ 考虑研究 $\inf \big\{\Phi(S,u), S \in \mathcal{C}, \, u\in S^* \big\}$ 的问题。证明了 $\Phi$ 的极小值是宽度为常数 $\pi/2$ 且 $u$ 位于其边界上的集合。对于 $n=3$ 可以有更多结论：极小集是球面上的 Reuleaux 三角形。前述问题与寻找满足适当约束的拟凸函数的最速下降曲线的最大长度问题相关。对于 $n=2$，参见 \cite{Manselli-Pucci}。此处对于 $n\geq 3$ 获得了截然不同的结果。