带连通性约束的双手平面装配划分问题

装配规划是机器人与自动化中的基本问题，涉及设计一系列运动，将产品的各个独立组成部件带入其在产品中的最终位置。装配规划自然地被表述为一个拆卸问题，由此引出装配划分问题：给定部件集合 $A$，寻找子集 $S\subset A$（称为子装配体），使得 $S$ 可沿指定方向刚性平移至无穷远而不与 $A\setminus S$ 发生碰撞。尽管装配划分可高效求解，但进一步希望子装配体的各部件易于保持在一起。这催生了我们研究的问题，称为连通装配划分，其额外要求两个子装配体 $S$ 和 $A\setminus S$ 均连通。我们证明该问题是 NP 完全的，解决了一刻钟前 Wilson 等人（1995）提出的开放问题，即便 $A$ 由单位网格方块组成（即 $A$ 为多联骨牌形）。为此，我们证明了一个新的平面 3-SAT 变体的 NP 困难性，该变体对同一子句中出现的变量有邻接要求，这可能具有独立意义。在正面结果方面，我们给出了一个 $O(2^k n^2)$ 时间的固定参数可解算法（需低次多项式时间预处理），适用于由平面内多边形构成的装配体 $A$，其中 $n=|A|$ 且 $k=|S|$。我们还描述了单位网格方块装配体的一种特殊情况，其中连通划分总可在 $O(n)$ 时间内找到。