图的张量表示的迹

设 $T$ 为一个「类型」集合，$\iota, o: T \to \mathbb{Z}_+$。一个 $T$-图是一个局部有序的有向图 $G$，配备一个函数 $\tau: V(G) \to T$，使得 $G$ 的每个顶点 $v$ 的入度为 $\iota(\tau(v))$、出度为 $o(\tau(v))$。（有向图称为「局部有序」，当且仅当在每个顶点 $v$ 处指定了进入 $v$ 的边与离开 $v$ 的边的线性序。）设 $V$ 为有限维 $\mathbb{F}$-线性空间，其中 $\mathbb{F}$ 是特征为 0 的代数闭域。一个在 $T$ 上的函数 $R$，对每个 $t \in T$ 分配一个张量 $R(t) \in V^{* \otimes \iota(t)} \otimes V^{\otimes o(t)}$，称为 $T$ 的「张量表示」。$R$ 的「迹」（或「配分函数」）是定义在 $T$-图集合上的 $\mathbb{F}$-值函数 $p_R$，其通过将 $T$-图 $G$ 的每个顶点 $v$ 用张量 $R(\tau(v))$「装饰」，并沿 $G$ 的每条边收缩张量，同时尊重进入 $v$ 和离开 $v$ 的边的顺序来得到。以这种方式我们得到一个「张量网络」。我们刻画了哪些定义在 $T$-图上的函数是迹，并证明每个迹来自一个唯一的「强非退化」张量表示。该定理适用于虚拟纽结图、弦图以及群表示。